Boltzmann-fordelingen

Ikke at forveksle med Maxwell-Boltzmann-fordelingen.

Boltzmann-fordelingen beskriver sandsynligheden for, at et fysisk system er i en given tilstand. Sandsynligheden ${\displaystyle p}$ for at et system er i en tilstand med energien ${\displaystyle \varepsilon }$ er proportional med en eksponentialfunktion:

${\displaystyle p\propto e^{-{\frac {\varepsilon }{k_{B}T}}}}$

hvor ${\displaystyle T}$ er systemets temperatur, ${\displaystyle k_{B}}$ er Boltzmanns konstant, og ${\displaystyle e^{-{\frac {\varepsilon }{k_{B}T}}}}$ kaldes Boltzmann-faktoren. Det ses, at høje energitilstande er mindre sandsynlige, men det er kun, når temperaturen er nul, at systemet udelukkende kan være i den laveste energitilstand.

For et system med ${\displaystyle M}$ diskrete energitilstande bliver den normerede sandsynlighed ${\displaystyle p_{i}}$ for at være i energitilstanden ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ altså:

${\displaystyle p_{i}={\frac {e^{-{\frac {\varepsilon _{i}}{k_{B}T}}}}{Z}}}$

hvor nævneren kaldes for tilstandssummen,

${\displaystyle Z=\sum _{j}^{M}e^{-{\frac {\varepsilon _{j}}{k_{B}T}}}}$

som sørger for, at summen af sandsynligheder er 1.^[1]

Boltzmann-fordelingen er central i den statistisk mekanik. Fordelingen er den klassiske grænse til den kvantemekaniske Fermi-Dirac-fordeling og Bose-Einstein-fordeling.

1. ^ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "4 Temperature and the Boltzmann factor". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 33-36. ISBN 978-0-19-856770-7.